Für sarif zur Kontrolle (Danköööö!^^):

Die Aufgabe:
Zwei Kreise mit gleichem Radius sind so übereinandergeschoben, dass die Kreislinien jeweils den Mittelpunkt des anderen Kreises berühren. Berechne Umfang und Fläche der entstandenen Form.

Lösung:
Ich habe durch die beiden Schnittpunkte der Kreislinien eine Gerade gezogen. Ebenso habe ich die Schnittpunkte mit den Mittelpunkten der Kreise verbunden. Dadurch entstehen zwei identische, gleichschenklige Dreiecke mit der Schenkellänge r und der Höhe h_x=r/2. (Ich hoffe, du kannst dir das vorstellen. Wenn nicht, kann ich schnell eine Skizze in Paint machen und hochladen!)
Zunächst habe ich die Hypothenuse x dieser Dreiecke berechnet, indem ich die beiden durch die Höhe h_x entstandenen rechtwinkligen Dreiecke mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet habe:
x=2b
r²=(r/2)²+b²
b=√[r²-(r/2)²]
x=2*√[r²-(r/2)²]
Durch Umformen ergibt sich x=√(3)*r

Als nächstes habe ich den Winkel φ mithilfe des Kosinussatzes berechnet:
[√(3)*r]²=2r²-2r²*cosφ
Daraus folgt φ=cos^-1(1-3r²)

Mit der allgemeinen Formel für Keisbögen ergibt sich dann für den Kreisbogen l der beiden Kreisabschnitte:
l=πr/180°*cos^-1(1-3r²), denn l=πr/180°*φ

Da der Gesamtumfang der Form gleich dem Umfang beider Kreise minus beide Kreisbögen ist, ergibt sich daraus:
U_FORM=4πr-2[πr/180°*cos^-1(1-3r²)]

Der Umfang wäre damit berechnet. Nun zum Flächeninhalt.
Der Flächeninhalt der Gesamtform ist gleich dem Flächeninhalt beider Kreise minus den Flächeninhalt des Gebietes, das durch die beiden Kreisbögen eingegrenzt wird.
A_FORM=2πr²-A_REST und A_REST=2*A_{KREISABSCHNITT}
Mit Kreisabschnitt ist hier der Bereich gemeint, der durch die Kreislinie l und die Hypothenuse des Dreieckes x begrenzt wird. Die Fläche dieses Bereiches kann berechnet werden, indem der Kreisausschnitt mit dem Winkel φ berechnet wird und anschließend die Fläche des hinzugekommenen Dreieckes substrahiert wird (Auf Wunsch fertige ich auch hierzu gerne eine Skizze an :P) Die Fläche des Kreisausschnittes lässt sich mit einer allgemeinen Formel berechnen:
A_{KREISAUSSCHNITT}=π/360°*cos^-1(1-3r²)*r², denn A=π/360°*φ*r²

Die Fläche des Dreiecks berechne ich, indem ich erneut die Höhe h_x zu Hilfe nehme und mich auf die mir bekannten Größen beziehe:
A_Δ=2*{[√(3)*r/2*(r/2)]/2}
Durch Kürzen und Umformen findet man die Form A_Δ=√(3)*r²/4

Wenn man nun alle Formeln ineinander einsetzt kommt man auf die endgültige Formel:
A_FORM=2πr²-2[π/360°*cos^-1(1-3r²)r²-√(3)*r²/4]